Karnaugh Haritası

Dijital elektronikte, devre oluşturmanın en önemli kuralı düşük maliyet ile devre oluşturmaktır. Bunu yapabilmek için sadeleştirme yöntemleri vardır. Bu yöntemler sayesinde, devredeki gereksiz elemanlar kullanılmaz. Bu yöntemlerden biri de Karnaugh (Karno) Haritası yöntemidir. Karnaugh Haritası, karmaşık teoremlere veya denklem gerek kalmadan Boole fonksiyonlarındaki cebirsel ifadeleri basitleştirmek için kullanılan görsel bir yöntemdir.

Karnaugh Haritası, parametre değerlerinin haritasını çıkarmayı ve basitleştirilmiş bir Boole ifadesine ulaşmayı kolaylaştıran bir doğruluk tablosunun özel bir sürümü olarak düşünülebilir. Karnaugh Haritası, iki ila dört değişkenli İşlevler için en uygunudur. Karnaugh Haritası, beş veya altı değişkenli fonksiyonlar için kullanılabilse de süreç daha zordur. Yedi veya daha fazla değişkenli fonksiyonlar için de bu yöntemi kullanmak imkansız değilse de son derece zordur. Karnaugh Haritasının nasıl kullanıldığını anlamanın en iyi yolu, bu yöntemi çalışırken görmektir ve başlamanız gereken yer bir Boole işlevidir.

İşlevin dört değişkenini içeren temel bir Boole ifadesini şu şekilde tanımlanır.

f(A, B, C, D) = A̅BC̅D + ABC̅D̅ + ABC̅D + ABCD + ABCD̅ + AB̅CD + AB̅CD̅

İfade, parametre girişine bağlı olarak, tek bir ikili değer üretmek için bir araya getirilen yedi ürün içerir. Parametrelerin birçoğu üzerlerinde bir çubukla gösterilir. Çubuk mantıksal bir not işlecidir. Boole ifadelerindeki diğer mantıksal işleçler gibi, not işleci de ifadenin mantığını denetlemeye yardımcı olur. Operatör kullanıldığında, farklı bir çıkış değeri üretmek için giriş değerinin ters çevrilmesi gerektiğini belirtir. Başka bir deyişle, giriş 0 ise, çıkış 1 olmalıdır veya tam tersi.

Bu ifadeyi daha iyi anlamaya yardımcı olmanın bir yolu, onu bir doğruluk tablosuna bölmektir. Dört parametre olduğundan, tabloda her biri için bir sütun bulunur. Tablo ayrıca parametre değerlerinin her olası birleşimi için bir satır içerir. Son sütunda, her birleşim için işlevin döndürülen değeri listelenir.

Ondalık A B C D f
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1 1

 

Tablo ayrıca, parametreleri tek bir ikili değer olarak ele alırken her satırın ondalık eşdeğerini gösteren bir sütun da içerir. Örneğin, son satırdaki her parametrenin değeri 1’dir, bu nedenle dört parametrenin ikili değeri 1111’dir ve bu da ondalık değeri 15’e eşdeğerdir. Ondalık değerler, çeşitli kombinasyonları izlemeyi ve bunlara başvurmayı ve aynı denkleme dayalı bir K-haritasını doğrulamayı kolaylaştırabilir.

Doğruluk tablosu, sonuçlarıyla birlikte tüm olası girdi kombinasyonlarını gösterir. Ancak, orijinal ifadeyi basitleştirmeye yardımcı olmaz. Bunun için, doğrudan ifadeden veya doğruluk tablosundan oluşturabileceğiniz Karnaugh Haritasına ihtiyacımız var. Her iki durumda da amaç, 1’lerin Karnaugh Haritasında nereye yerleştirileceğini ve buna bağlı olarak 0’ların nereye yerleştirileceğini bulmaktır.

Karnaugh Haritası Örnekleri

Karnaugh Haritası örnekleri ile bu yöntemi detaylandıralım. Önceki ifade için bir doğruluk tablosu oluşturduysanız, 5, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15 ondalık değerlerinin tümünün 1 dönüş değerine karşılık geldiğini bilirsiniz. K-haritasını doldurmak için bu bilgileri kullanabilirsiniz. Bunun için, burada gösterildiği gibi temel bir Karnaugh Haritası kabuğu ile başlamalısınız.

Karnaugh Haritası Örneği-1

Burada gösterilen Karnaugh Haritası, dört parametre alan bir fonksiyona özgüdür. Parametre değerlerinin her olası kombinasyonu için bir tane olmak üzere 16 hücre içerir. A ve B işlevleri satırlarla, C ve D işlevleri ise sütunlarla temsil edilir. Satırlar ve sütunlar, parametre ikili değerlerinin olası birleşimleriyle etiketlenir. Etiketler şekilde belirtilen sırayı takip etmelidir: 00, 01, 11 ve 10. Sütunlar soldan sağa, satırlar ise yukarıdan aşağıya doğru etiketlenir.

Karnaugh Haritasındaki her hücre, sütun ve satır ikili etiketleriyle temsil edildikleri için Y ekseni ve X ekseni koordinatlarının kesişimini temsil eder. Örneğin, ilk satırdaki üçüncü hücre 00 satırı ile 11 sütununun kesiştiği noktada bulunur, bu nedenle hücrenin kendisi 0011 ikili değerini temsil eder. Başka bir deyişle, hücre A = 0, B = 0, C = 1 ve D = 1 parametre değerlerini temsil eder.

Karnaugh Haritası Örneği-2

Bu durumda, K haritası ondalık değeri de gösterir. Ancak, bu her zaman dahil değildir ve gerekli değildir. K-haritasını doğruluk tablosuyla karşılaştırmayı kolaylaştırmak için buraya eklenmiştir. Ayrıca hücrelere başvurmak için kolay bir yol sağlar. Bu bilgileri, doğruluk tablosuna geri dönerek K-haritasında 1 değerlerinin nereye ekleneceğini belirlemek için kullanabilirsiniz. Doğruluk tablosunda çıktı değeri 1 olan satırlar (5, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15. satırlar) 1’leri K-haritasında nereye yerleştireceğinizi doğrudan söyler (5, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15 hücreleri). Daha sonra burada gösterildiği gibi kalan her hücreye 0 girebilirsiniz.

Doğruluk tablosu oluşturmadıysanız, bunun yerine orijinal ifadedeki her ürün grubu için bir ikili değer hesaplayabilir ve ardından bu bilgileri 1’leri eşlemek için kullanabilirsiniz. NOT operatörü ile listelenen tüm parametreler 0 değerini, diğer tüm parametreler ise 1 değerini alır.

Karnaugh Haritası Örneği-3

Bu bilgilerden daha sonra K-haritasını doldurabilirsiniz. Her dört basamaklı ikili değer için, bu değerle ilişkili hücreye 1 girin. Örneğin, bu denklemdeki ilk ikili değer, K-haritasındaki 5. hücreye karşılık gelen 0101’dir. Sonuç olarak, bu hücreye 1 girmeli ve diğer ikili değerlerin her biri için işlemi tekrarlamalısınız. Daha sonra kalan hücrelerin her birine 0 ekleyebilirsiniz.

BİR CEVAP BIRAK

Please enter your comment!
Please enter your name here